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For a Gaussian prior P(θ)∼N(0,τ)P(\theta) \sim \mathcal N(0, \tau)P(θ)∼N(0,τ) so F(θ)=1τ2∑iθi2F(\theta) = \frac{1}{\tau^2} \sum_i \theta_i^2F(θ)=τ21​∑i​θi2​ while for a Laplace prior P(θ)∼Laplace(0,τ)P(\theta) \sim \mathrm{Laplace}(0, \tau)P(θ)∼Laplace(0,τ), then F(θ)=1τ∑i∣θi∣F(\theta) = \frac{1}{\tau} \sum_i |\theta_i|F(θ)=τ1​∑i​∣θi​∣. So all along, these two regularization techniques were just different choices of Bayesian priors!

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